Andrzej Klimowicz urodził się w Białej Cerkwi na Ukrainie. Jako uczeń gimnazjum Władysława Giżyńskiego w Warszawie działał w Związku Niezależnej Młodzieży Socjalistycznej „Spartakus”. Później, będąc studentem Szkoły Nauk Politycznych, współpracował z Organizacją Młodzieży Socjalistycznej „Życie”. W 1938 r. wstąpił do Klubu Demokratycznego w Warszawie, by już w 1939 r. wejść do jego zarządu. Należał też do założycieli miesięcznika młodzieżowego „Mosty” i jako jego publicysta został zaproszony przez syjonistyczną organizację młodzieżową Gordonia na ich hachszarę (obóz przygotowujący młodzież do pracy w znajdującej się pod mandatem brytyjskim Palestynie) w Zduńskiej Woli, gdzie spędził miesiąc. W szeregach Batalionów Robotniczych Obrony Warszawy uczestniczył w kampanii wrześniowej.
W czasie niemieckiej okupacji zaangażował się w działalność konspiracyjną Stronnictwa Demokratycznego (pseud. „Prostokąt”), został też przedstawicielem Sekcji Młodych w Zarządzie tej partii. Po rozłamie Stronnictwa Demokratycznego przeszedł do Stronnictwa Polskiej Demokracji i zasiadał w jego zarządzie. W 1944 r. został członkiem Koła Młodych Krajowej Rady Narodowej.
Prowadzony przez niego warsztat wulkanizacyjny przy ul. Nowy Świat 41 służył jako miejsce spotkań działaczy podziemia – Społecznej Organizacji Samoobrony kierowanej przez Zofię Kossak pseud. „Weronika” oraz Rady Pomocy Żydom „Żegota”. Spotykali się tam Adolf Berman (pseud. „Borowski”), Salo Fiszgrund (pseud. „Henryk”) i Leon Feiner (pseud. „Mikołaj”). Za pośrednictwem Klimowicza Żydzi ukrywający się w Warszawie otrzymywali fałszywe dokumenty, adresy kryjówek i zapomogi finansowe. W warsztacie ukrywał się Jankiel Wiernik (1889–1972), który uciekł z Treblinki 2 sierpnia 1943 r. i dotarł do Warszawy. Za przepierzeniem warsztatu Klimowicza napisał świadectwo zatytułowane Rok w Treblince. Większości swoich podopiecznych Klimowicz nie znał, nie pamiętał po wojnie ich nazwisk. Do wyjątków należał lekarz ze Lwowa – dr Menachem Benesis.
„W tak położonym punkcie można urządzić drukarnię”
Czytaj historię Mariana Wnuka, który przyczynił się do powstania pod tym samym adresem – przy ul. Nowy Świat 41 w Warszawie – drukarni „Żegoty”.
W powstaniu warszawskim Klimowicz walczył w Korpusie Bezpieczeństwa, a następnie przepłynął Wisłę i wstąpił do Wojska Polskiego. Był posłem do Krajowej Rady Narodowej (1945–1946), działaczem spółdzielczym, członkiem Związku Bojowników o Wolność i Demokrację. Odznaczono go Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski, Krzyżem Virtuti Militaru V klasy, Krzyżem Walecznych i Krzyżem Partyzanckim. Po wojnie otworzył ponownie warsztat artykułów gumowych. Założył rodzinę, doczekał się dwóch córek i wnuków.
W swoim świadectwie na temat Klimowicza dla Żydowskiego Instytutu Historycznego w 1979 r. Irena Sendlerowa podkreślała, że „cały czas podczas wojny w swej bezinteresownej i humanitarnej działalności ratowania od śmierci prześladowanych, narażał bezustannie życie swoje i życie swoich najbliższych”.
W 1981 r. Yad Vashem przyznał Andrzejowi Klimowiczowi tytuł Sprawiedliwego wśród Narodów Świata. W 1982 r., w związku z ceremonią nadania tytułu, odwiedził Izrael i spotkał się w kibucu Ma’ale Hahamisza z ludźmi, których pamiętał ze Zduńskiej Woli. Był jednym z pomysłodawców założenia Polskiego Towarzystwa Sprawiedliwych wśród Narodów Świata.
